1
00:00:00,959 --> 00:00:13,009
Obliczmy pochodną po x z funkcji x do potęgi n+1, dzielone przez n+1, plus pewna stała c.

2
00:00:13,009 --> 00:00:16,322
I będziemy tutaj zakładać, ponieważ chcemy, by to wyrażenie było dobrze zdefiniowane,

3
00:00:16,322 --> 00:00:21,143
będziemy zakładać, że n nie jest równe -1.

4
00:00:21,143 --> 00:00:24,886
Gdyby było, dzielilibyśmy przez 0 i musielibyśmy zdefiniować co to oznacza.

5
00:00:24,886 --> 00:00:27,542
Tak więc policzmy tę pochodną. To będzie równe...

6
00:00:27,542 --> 00:00:34,487
Do pochodnej x do potęgi n+1 dzielone przez n+1 możemy zastosować "zasadę potęgi".

7
00:00:34,487 --> 00:00:39,160
Naszym wykładnikiem jest n+1, możemy to przenieść na początek, więc to będzie

8
00:00:39,160 --> 00:00:50,326
n+1 razy x do potęgi... chcę użyć tego samego koloru, kolory są tutaj najtrudniejszą sprawą...

9
00:00:50,326 --> 00:00:55,459
razy x do potęgi, zamiast n+1, odejmujemy 1 od wykładnika, to jest właśnie ta "zasada potęgi",

10
00:00:55,459 --> 00:01:03,843
więc n plus 1 minus 1 to będzie n. Nie możemy zapomnieć, że musimy podzielić przez n+1, więc podzielmy przez n+1.

11
00:01:03,843 --> 00:01:11,110
I teraz mamy plus c. Pochodna ze stałej po x... stała się nie zmienia, gdy zmienia się x,

12
00:01:11,110 --> 00:01:15,278
więc to będzie po prostu 0, więc piszemy plus 0.

13
00:01:15,278 --> 00:01:22,410
I, ponieważ n nie jest równe -1, wiemy, że to będzie zdefiniowane i to będzie coś podzielone przez siebie,

14
00:01:22,410 --> 00:01:28,742
czyli to będzie 1, a to całe wyrażenie uprości się do x do potęgi n.

15
00:01:28,742 --> 00:01:33,426
Czyli pochodna tego czegoś, co jest bardzo ogólnym wyrażeniem, jest równa x do potęgi n.

16
00:01:33,426 --> 00:01:45,395
Wiedząc już to, czym jest anty-pochodna... tylko zmienię kolor... czym jest antypochodna x do potęgi n?

17
00:01:45,395 --> 00:01:54,460
I pamiętaj, to jest tylko dziwnie wyglądający zapis, którego używamy, będzie miał on więcej sensu, gdy przejdziemy do całek oznaczonych.

18
00:01:54,460 --> 00:01:57,759
Ale czym jest antypochodna x do potęgi n?

19
00:01:57,759 --> 00:02:00,611
Możemy powiedzieć "antypochodna po x", jeśli chcemy.

20
00:02:00,611 --> 00:02:07,875
Inną nazwą jest całka nieoznaczona. Całka... nieoznaczona...

21
00:02:07,875 --> 00:02:11,960
Ale już wiemy, że x do potęgi n jest pochodną... czego?

22
00:02:11,960 --> 00:02:14,959
Właśnie się tego dowiedzieliśmy, to po prostu pochodna tego wyrażenia,

23
00:02:14,959 --> 00:02:16,576
które napisaliśmy w bardzo ogólny sposób.

24
00:02:16,576 --> 00:02:19,543
My właściwie uwzględniamy tutaj wiele stałych,

25
00:02:19,543 --> 00:02:24,743
to może być 0, 1, 2, pi, miliard...

26
00:02:24,743 --> 00:02:34,194
Więc to będzie równe x do potęgi n+1 dzielone przez n+1 plus c.

27
00:02:34,194 --> 00:02:40,975
Więc jest to dość silna reguła, możesz na to patrzyć jako na "odwróconą zasadę potęgi".

28
00:02:40,975 --> 00:02:52,528
Stosuje się ją dla wszystkich n, jeśli tylko n nie jest równe -1, pokreślmy to: n nie jest równe -1.

29
00:02:52,528 --> 00:02:56,560
Jeszcze raz, gdyby n było równe -1, to wyrażenie byłoby niezdefiniowane.

30
00:02:56,560 --> 00:03:03,727
A teraz kilka przykładów zastosowania tej reguły, którą, jeśli chcesz, możesz nazwać "odwróconą zasadą potęgi" lub "antyzasadą potęgi".

31
00:03:03,727 --> 00:03:10,910
A teraz policzmy antypochodną x po piątej potęgi.

32
00:03:10,910 --> 00:03:13,445
Czym jest antypochodna x do potęgi 5?

33
00:03:13,445 --> 00:03:19,393
Wszystko co trzeba powiedzieć to to, że spójrz - n jest równe 5, musimy dodać do wykładnika 1...

34
00:03:19,393 --> 00:03:30,112
i to będzie równe x do potęgi 5+1, a to dzielimy przez tę samą wartość, jakikolwiek jest wykładnik zwiększony o 1, dzielimy przez tę samą wartość,

35
00:03:30,112 --> 00:03:37,978
czyli dzielimy przez 5 plus 1 i oczywiście chcemy uwzględnić wszystkie możliwe antypochodne, więc dodajemy c na końcu.

36
00:03:37,978 --> 00:03:43,412
Czyli to wszystko będzie równe x do potęgi 6 podzielić przez 6, plus c.

37
00:03:43,412 --> 00:03:46,363
I można to sprawdzić. Policz pochodną tego wyniku używając zasady potęgi.

38
00:03:46,363 --> 00:03:49,976
Rzeczywiście otrzymasz x do potęgi 5.

39
00:03:49,976 --> 00:03:51,728
Weźmy inny przykład.

40
00:03:51,728 --> 00:03:54,326
Ten zapiszemy na niebiesko.

41
00:03:54,326 --> 00:04:04,674
Spróbujmy policzyć antypochodną... czegoś interesującego, niech to będzie 5 razy x do potęgi -2.

42
00:04:04,674 --> 00:04:08,810
Jak to policzymy?

43
00:04:08,810 --> 00:04:14,143
Jedno uproszczenie, które możesz wykonać, a którego póki co nie udowodniłem precyzyjnie,

44
00:04:14,143 --> 00:04:18,842
ale już wiemy, że skalar można wyciągać przed linowy operator pochodnej,

45
00:04:18,842 --> 00:04:25,626
więc to rzeczywiście będzie 5 razy antypochodna x do potęgi -2

46
00:04:25,626 --> 00:04:30,711
A teraz możemy już użyć tej, nazwijmy ją "antyzasadą potęgi"

47
00:04:30,711 --> 00:04:35,494
Więc to będzie równe 5 razy x do potęgi -2+1

48
00:04:35,494 --> 00:04:46,745
podzielić przez -2+1, plus jakaś stała.

49
00:04:46,745 --> 00:04:58,162
I możemy to przepisać jako 5 razy... x do potęgi -2+1 to x do potęgi -1, dzielone przez -2+1 czyli -1

50
00:04:58,162 --> 00:04:59,676
plus jakaś stała.

51
00:04:59,676 --> 00:05:05,828
I to jest równe 5 razy minus x do potęgi -1, plus jakaś stała.

52
00:05:05,828 --> 00:05:09,328
A teraz jeśli chcemy możemy włączyć 5 do wyrażenia

53
00:05:09,328 --> 00:05:13,175
Więc to będzie równe -5 razy x do potęgi -1

54
00:05:13,175 --> 00:05:16,211
i moglibyśmy napisać plus 5 razy jakaś stała,

55
00:05:16,211 --> 00:05:18,395
ale to jest tylko jakaś arbitralna stała,

56
00:05:18,395 --> 00:05:21,460
więc pozostanie arbitralną stałą.

57
00:05:21,460 --> 00:05:27,561
Więc możemy to zapisać jako inne stałe, powiedzmy c1, c1, c1,

58
00:05:27,561 --> 00:05:31,812
a kiedy pomnożymy c1 przez 5, otrzymujemy inną stałą, możemy ją nazwać c,

59
00:05:31,812 --> 00:05:34,062
równą 5 razy c1.

60
00:05:34,062 --> 00:05:39,258
Czyli teraz mamy -5 razy do potęgi -1 plus c.

61
00:05:39,258 --> 00:05:43,258
A teraz spróbuj policzyć pochodną i zobaczysz, że otrzymasz właśnie to wyrażenie.